Пуск и скачок нагрузки

Читаем ток, скорость и момент как единую причинно связанную картину.

Постановка опыта

Запустим двигатель из покоя под напряжением 12 В. В момент t = 0,5 с приложим постоянный момент нагрузки 0,1 Н·м. Параметры возьмём из шестого урока. Рассчитаем процесс до 1,5 с и сохраним ток, скорость, электромагнитный момент и приложенную нагрузку.

Перед расчётом сделаем прогноз: скорость после приложения нагрузки должна снизиться, ток — увеличиться. Ни ток, ни скорость не должны иметь разрыва. Производная скорости изменится мгновенно, поскольку внешний момент непосредственно входит в механическое уравнение.

Начало пуска

В точке t = 0 скорость и ток равны нулю. Начальная производная тока составляет U/L = 600 А/с. Производная скорости в самый первый момент равна нулю: ток ещё не успел создать момент. Уже спустя малое время ток становится положительным и начинается разгон.

Ток не прыгает сразу до U/R. Значение 6 А — статический ток заторможенного ротора, а при свободном разгоне противо-ЭДС начинает ограничивать рост раньше. Пиковый ток зависит от инерции и других параметров: тяжёлый механизм дольше остаётся на малой скорости и обычно создаёт более тяжёлый пусковой режим.

Что происходит в момент 0,5 с

Скачок нагрузки изменяет ускорение на −ΔML/J = −50 рад/с². Это изменение производной, а не скорости. После снижения скорости уменьшается противо-ЭДС, затем растёт ток и момент. В итоге устанавливается новая рабочая точка.

В установившемся режиме электромагнитный момент компенсирует сумму нагрузки и трения. Сравнивать Me только с ML и ожидать их равенства неверно, если b не равно нулю. Разность Me − ML − bω должна стремиться к нулю.

Аналитический прогноз провала скорости

Для постоянного напряжения изменение установившейся скорости при изменении нагрузки равно:

При ΔML = 0,1 Н·м получаем −14,286 рад/с. Старое равновесие 85,714 рад/с сменяется новым 71,429 рад/с. Непосредственно к 0,5 с исходный переход ещё не закончился строго, поэтому мгновенное значение перед переключением немного отличается от старого равновесия. Для измерения чистого отклика на нагрузку можно приложить её позже или начать расчёт из точного равновесия.

Корректное измерение показателей

Пусковой максимум тока ищут на интервале пуска. Провал скорости после возмущения измеряют относительно оговорённого базового значения. Время восстановления отсчитывают от момента приложения нагрузки, а не от начала всего расчёта. Для системы без регулятора «восстановление» означает установление нового режима, а не возврат к прежней скорости.

Если расчёт закончился до попадания в полосу установления, следует написать «не установилось на выбранном интервале». Последняя точка не обязана быть равновесием. Для полосы ±2% также нужно указать, берутся ли проценты от конечного значения или от амплитуды изменения.

Серия экспериментов

Изменяйте по одному параметру. Увеличьте J вдвое, сохранив электрические параметры и нагрузку. Затем отдельно измените R. В первом опыте меняется преимущественно динамика, во втором — и динамика, и рабочая точка. Если поменять всё одновременно, объяснить результат будет сложнее.

from scipy.integrate import solve_ivp
first = solve_ivp(lambda t, y: motor(t, y, 12, 0),
                  (0, 0.5), [0, 0], rtol=1e-8, atol=1e-10)
second = solve_ivp(lambda t, y: motor(t, y, 12, 0.1),
                   (0.5, 1.5), first.y[:, -1],
                   rtol=1e-8, atol=1e-10)

Практическая работа

Сравните нагрузки 0,05; 0,1 и 0,15 Н·м. Для каждой запишите конечную скорость и ток, вычисленные аналитически и численно. Укажите длительность расчёта. Дополнительно найдите нагрузку, при которой установившаяся скорость в этой идеализированной модели равна нулю: ktU/R = 0,6 Н·м.

Что именно меняется в момент скачка

Пусть при t = t₁ момент нагрузки возрастает на ΔM, а напряжение остаётся прежним. Из законов коммутации Δi = 0 и Δω = 0. Вычитая уравнения непосредственно до и после события, получаем:

Последнее равенство относится к односторонним вторым производным на гладких участках при постоянных параметрах и неизменном напряжении. Оно следует из i″ = (−Ri′ − k_eω′)/L. Таким образом, нагрузка сразу изменяет ускорение, а ток начинает реагировать через изменение кривизны своей временной зависимости.

Для ΔM = 0,1 Н·м и J = 0,002 кг·м² скачок ускорения равен −50 рад/с². Для базовых L и k_e скачок i″ равен 250 А/с². Эти значения удобно проверять по правым частям модели, поскольку численное дифференцирование графиков усиливает ошибку.

Расчёт по интервалам без обнуления состояния

Для каждого интервала постоянных u и M_L вычислите своё равновесие x_∞,k. Если параметры двигателя не меняются, матрица A общая:

Конечное состояние интервала становится начальным для следующего. Экспонента отсчитывается от t_k, а не от общего нуля. Это позволяет точно рассчитывать ступени и импульсы напряжения, последовательные изменения нагрузки и произвольные ненулевые начальные условия.

Если нагрузку включают на 0,5 с после старта, базовый двигатель ещё не достиг равновесия холостого хода. Такой опыт показывает сумму продолжающегося пуска и реакции на нагрузку. Для чистой нагрузочной характеристики задайте начальное равновесие напрямую или дождитесь выполнения выбранного критерия установления.

Аналитическая оценка нагрузочного перехода

В модели с пренебрежимо малой L при неизменном напряжении скачок нагрузки из равновесия даёт:

Для ΔM = 0,1 Н·м конечное изменение скорости −14,286 рад/с, тока +0,714 А. Через одну τ_м,эфф скорость изменится приблизительно на −9,030 рад/с. Конечные значения совпадают с полной моделью, а начальная динамика тока — нет: в приближении изменяется i′, тогда как в полной модели i′ непрерывна при чистом скачке нагрузки.

Оценивайте две разные величины: статическое снижение скорости и максимальное динамическое отклонение. В монотонном переходе они совпадают по предельной амплитуде; при колебаниях минимум может оказаться ниже нового равновесия.

Задачи для самостоятельного решения

1. Из равновесия при U = 12 В и M_L = 0,1 Н·м нагрузка уменьшается до нуля. Найдите новые равновесные ток и скорость, а также скачок ускорения.

2. В упрощённой модели из равновесия холостого хода приложите 0,1 Н·м на 0,2 с и снимите. Найдите отклонение скорости в момент снятия нагрузки.

Для отчёта: сравните скачки нагрузки при t₁ = 0,1; 0,5; 2 с. Объясните различия начальных состояний, сохраняя одинаковые параметры двигателя.

Что запомнить

Сначала сформулируйте физический прогноз, затем сопоставьте его с графиками. Разделяйте мгновенную реакцию производных и постепенное изменение состояния. Пусковой ток и провал скорости — разные показатели одной связанной системы.