ШИМ-преобразователь и пульсации тока

Коэффициент заполнения, усреднённая и переключаемая модели, пульсации тока и добавочные потери.

1. Сначала задаём схему переключения

Идеальный источник предыдущих уроков мог менять напряжение непрерывно. Силовой преобразователь подключает двигатель к шине питания на часть периода. Рассмотрим понижающий одноквадрантный преобразователь с идеальным ключом и диодом свободного хода. При включённом ключе u = U_dc, при выключенном и положительном непрерывном токе u = 0. Диод обеспечивает путь тока индуктивности.

Коэффициент заполнения d = t_on/T_sw лежит между 0 и 1, частота f_sw = 1/T_sw. Эта схема не задаёт отрицательное среднее напряжение и не поддерживает отрицательный ток через диод. Для реверса нужен другой силовой каскад.

2. Вывод усреднённого уравнения

Если за один период ток и скорость меняются мало, усредним электрический баланс. Для постоянной на периоде команды d:

Усреднённая модель сохраняет медленный переход, но не содержит частоты переключения. Её применимость проверяют сравнением T_sw с электрическим и механическим временами и величиной относительных пульсаций. Вблизи нулевого тока диод может закрыться раньше конца периода; тогда простая двухинтервальная модель непрерывного тока неверна.

Для базового двигателя при ω = 60 рад/с и M_L = 0,1 Н·м требуется ī = 2,2 А, ū = 10,4 В. При U_dc = 24 В коэффициент d = 0,4333. Запас напряжения позволяет быстрее менять ток, но максимальная команда ограничена шиной.

3. Пульсации тока: вывод по двум наклонам

В установившемся периодическом режиме считаем Ri и e = k_eω почти постоянными за период. Во включённом состоянии наклон тока (U_dc − Ri − e)/L, в свободном ходе — (−Ri − e)/L. В среднем Ri + e = dU_dc, поэтому:

Индекс pp означает разность максимума и минимума, а не амплитуду относительно среднего. Пульсации максимальны при d = 0,5. Для U_dc = 24 В, L = 0,02 Гн и f_sw = 2000 Гц максимальный размах ≈ 0,15 А. При d = 0,4333 получаем 0,14733 А и амплитуду около 0,07367 А.

Грубая проверка непрерывности: ī > Δi_pp/2. Если условие нарушено, отрицательная часть треугольной волны для диодной схемы недопустима. Нужно моделировать третий интервал с нулевым током.

Дополнительное чтение: Texas Instruments: расчёт силовой части понижающего преобразователя. Вывод через напряжение индуктивности применяется здесь к цепи якоря с противо-ЭДС.

4. Точный расчёт периода при постоянной скорости

На каждом интервале напряжение постоянно, и решение RL-уравнения известно. Пусть τ = L/R, I_on = (U_dc − e)/R, I_off = −e/R, a = exp(−dT_sw/τ), c = exp[−(1−d)T_sw/τ]. Тогда:

Последнее равенство следует из периодичности: конец периода совпадает с началом. Оно применимо, пока найденный ток остаётся положительным. Экспоненциальные участки учитывают изменение Ri внутри периода; при T_sw/τ → 0 результаты точного и линейного расчётов сближаются. Скачиваемый пример вычисляет минимум, максимум и оба размаха для рабочей точки предыдущего раздела.

Скачать расчёты к урокам 11–15 на Python. Запуск: python advanced-experiments.py. Нужны NumPy и SciPy; результаты выводятся в консоль.

5. Момент, нагрев и другая топология

Момент повторяет пульсации тока: ΔM_pp = k_tΔi_pp. Скорость сглаживается инерцией, однако это не отменяет нагрев. Для приблизительно треугольной пульсации с нулевым средним:

При R = 2 Ом и размахе 0,14733 А добавочные медные потери ≈ 0,00362 Вт. В этом примере они малы. Уменьшение L в десять раз увеличивает пульсации и может нарушить предпосылки оценки. Потери ключа, диода и магнитные потери здесь не учтены.

У биполярного H-моста напряжение переключается между +U_dc и −U_dc, среднее равно (2d − 1)U_dc. Формулу ū = dU_dc на него переносить нельзя. Мёртвое время реального моста дополнительно искажает напряжение в зависимости от направления тока; в нашей идеальной схеме этот эффект отсутствует.

Задачи для самостоятельного решения

1. Для U_dc = 24 В, L = 0,02 Гн, d = 0,5 оцените минимальную частоту, обеспечивающую Δi_pp ≤ 0,1 А.

2. Какой d биполярного H-моста с шиной 24 В даёт среднее −6 В? Какое напряжение даёт тот же d в одноквадрантной схеме?

Лабораторная работа и защита

Постройте три установившихся периода тока по точным экспонентам для f_sw = 0,5; 2; 8 кГц при одинаковом d. Сравните размах с приближённой формулой и покажите среднее напряжение. Затем уменьшайте средний ток до границы непрерывности и укажите, где необходима смена модели.

Для численного моделирования пуска разбивайте интервал по фронтам ШИМ. Один шаг, пересекающий несколько переключений, не воспроизводит пульсации. В отчёте разделите ошибку усреднения и ошибку численного метода. Объясните, почему одинаковая средняя скорость не доказывает одинаковые потери.

Что запомнить

Среднее напряжение определяет медленную динамику, но не показывает пульсации и добавочные потери. Формулы зависят от схемы и режима проводимости. Период ШИМ, шаг решателя и период регулятора — разные параметры.